Key Points :-

1.     त्रिज्या और ऊँचाई का संबंध:

·         चूंकि अर्द्धगोले, बेलन और शंकु का आधार बराबर है, तो उनकी त्रिज्या (r) समान होगी। 

·         यह भी दिया गया है कि उनकी ऊँचाई (h) भी समान है। साथ ही, अर्द्धगोले की त्रिज्या उसकी ऊँचाई के बराबर होती है। 

·         इसलिए, h = r। 

2.      2. आयतनों के सूत्र:

·         शंकु का आयतन: V_शंकु = (1/3)πr²h 

·         अर्द्धगोले का आयतन: V_{अर्द्धगोला} = (2/3)πr³ 

·         बेलन का आयतन: V_बेलन = πr²h 

3.      3. अनुपात की गणना:

·         चूंकि h = r है, हम सूत्रों में h के स्थान पर r रख सकते हैं। 

·         शंकु का आयतन = (1/3)πr²(r) = (1/3)πr³ 

·         अर्द्धगोले का आयतन = (2/3)πr³ 

·         बेलन का आयतन = πr²(r) = πr³ 

·         अब आयतनों का अनुपात निकालते हैं:

(1/3)πr³ : (2/3)πr³ : πr³ 

·         πr³ से भाग देने पर अनुपात मिलता है:

(1/3) : (2/3) : 1 

·         पूरे अनुपात को 3 से गुणा करने पर:

1 : 2 : 3 

अतः, शंकु, अर्द्धगोले और बेलन के आयतनों का अनुपात 1:2:3 है।